1. 互信息量

信息熵（香农熵）

$$ H(A) = - \sum_{x\in X}p(x)\log p(x) $$ 信息熵度量了信息量的多少。如英语有26个字母，加入每个字母在文章中出现次数相同的话，每个字母的信息量为: $$ I_e = -\log_2{\frac{1}{26}}=4.7 $$ 若有一个字母出现次数为总次数的一半，则其信息熵为： $$ I_e = -\log_2{\frac{1}{2}} = 1 $$ 以上例子说明，某一个信息出现次数越多，其信息量就越少。直观的说，某一篇文章中，“的”，“我”等词语可能出现次数最多，但其能为我们带来的信息可能并不是那么多。

经典互信息量

假定我们在一系列的不同时刻$(t_1, t_2, \dots, t_N)$对一个给定的系统进行连续测量，把每次测量结果记为$x_1, x_2,\dots, x_N$，每个测量序列的结果都有不同的概率输出，将之记为$p(x_1), p(x_2), \dots, p(x_N)$.
则关联就意味着对于任意的$1\le n \le N$，这些概率分布不会以乘积的形式出现，即$p(x_1, x_2, \dots, x_n)*p(x_n+1, x_n+2, \dots, x_N)$。用通俗易懂的话来说，就是这些概率分布不是相互独立的。

简单起见，我们将所有测量分为两组A和B，这样A和B之间的互信息量就定义为： $$ I(A:B) = H(A)+H(B) - H(A,B), where\ H(A) = - \sum_{x\in X}p(x)\log p(x) $$

又，根据贝叶斯定理$H(A|B)=H(A,B)-H(B)$，经典互信息量还有一个等价的表达方式： $$ C(A:B)=H(A)-H(A|B) $$ 其中$H(A|B)$表示在知道B体系测量结果情况下A体系的条件熵。因此，经典互信息量度量了在对B测量时所能提取的A的信息量。

2. 量子互信息量

将经典互信息量的理论推广到量子系统，这样就能得到量子互信息量的概念，考虑一个两体的量子态$\rho_{AB}$，量子互信息量定义为： $$ I(\rho_{AB})=S(\rho_{A})+S(\rho_{B})-S(\rho_{AB}) $$ 其中$S(\rho)=-tr\rho\log(\rho)$为冯·诺伊曼熵，（$tr$指求迹，即求矩阵对角线元素之和）,$\rho_A$和$\rho_B$分别为$\rho_{AB}$的约化密度矩阵。

两体系统的总关联为其量子互信息量

3. 量子关联

对于经典互信息量表达形式的量子推广，我们需要引入一套完备的测量基底${\Pi_j}$（不一定是正交基底）来对B体系进行测量，对于每次的测量结果$j$，其概率为$p_j=tr_{AB}(\rho_{AB}\Pi_j)$，A的态将坍缩到$\rho_{A}^{j}=\frac{tr_{B}(\Pi_{j}\rho_{AB}\Pi_j)}{p_j}$，在对所有的测量基进行优化时，量子体系的经典关联就可定义为： $$ C(\rho_{AB})=S(\rho_A)-\min\limits_{{\Pi_j}}\sum_{j}p_j S(\rho_{A}^{j}) $$

关联分为经典关联和量子关联。
对于两体量子态$\rho_{AB}$，其经典关联态，又称经典-经典（关联）态定义如下：
存在系统$A$和$B$上的冯·诺伊曼测量（秩为1的正交投影测量）$\Pi_{i}^{A}$, $\Pi_{j}^{B}$，使得该测量不扰动$\rho_{AB}$，即 $$ \rho_{AB}=\sum_{ij}(\Pi_{i}^{a}\otimes\Pi_{j}^{b})\rho_{AB}(\Pi_{i}^{a}\otimes\Pi_{j}^{b}) $$ 简单来说就是找不到一个测量基，在对两体量子态其中一个系统进行测量时会对另一个系统造成扰动，这种状态成为经典关联态。 若对另一个系统造成了扰动，则为量子关联态。

4. 量子失协

由于对两个量子关联在一起的体系种一个进行测量，将不可避免地导致对另一个体系的扰动，因此经典互信息量两种等价的表达形式在量子世界中一般是不一致的，它们之间的差值为： $$ Q(\rho_{AB})=I(\rho_{AB})-C(\rho_{AB}) $$

这就是 量子失协

量子失协包含量子体系中的量子纠缠和非纠缠的量子关联，它度量了量子体系中总的非经典关联。

量子失协存在以下性质：

  1. 对于纯态，量子失协等于量子纠缠；对于混合态，它们一般不相等。

  2. 一般来说，量子失协不是对称的，这是由于条件熵的定义依赖于测量作用在哪一个系统上，即 $$ D_A(\rho_{AB})\ne D_B(\rho_{AB}) $$ 此处$D_A(\rho_{AB})$、$D_B(\rho_{AB})$分别表示对A，B系统做冯·诺伊曼测量得到的量子失协。当然也可以基于双边测量，从而得到对称化的量子失协。

  3. $0\le D(\rho_{AB}) \le I(\rho_{AB})$。进一步，$D(\rho_{AB}) \le S(\rho_A)$，但$D(\rho_{AB}) \le S(\rho_B)$不一定成立。

  4. 量子失协在局部酉操作下保持不变，即量子态$\rho_{AB}$和$(U^{A}\otimes U^{B})\rho_{AB}(U^{A}\otimes U^{B})^\dagger$具有相同的量子失协。此处$U^{A}$和$U^{B}$分别是系统$A$、$B$上的酉算子。

  5. 在一定的意义下，几乎所有的态都具有非零的量子失协。$D(\rho_{AB})=0$当且仅当这个态是经典-量子态。

  6. 对于没有量子关联但有经典关联的量子态，可以通过局域操作产生量子关联。事实上，所有的非纠缠量子关联都可由局域操作在经典态上产生。

  7. 所有的纠缠态都具有非零的量子失协，但是部分可分态的量子失协也非零。一个很简单的例子是
    $$ \rho_{AB}=\frac{1}{2}(\ket{0}\bra{0}\otimes\ket{+}\bra{+}+\ket{+}\bra{+}\otimes\ket{1}\bra{1}), where\ \ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\bra{1}) $$

  8. 通常情况下，量子失协在噪声环境中的演化要比量子纠缠更平稳、更持久，量子失协一般不会像量子纠缠那样出现突然消失的现象。

5. 纠缠、经典关联、非经典关联

纠缠

假设一个复合系统是由两个不相互作用的子系统A、B组成，这两个子系统A、B的希尔伯特空间分别为$H_A$, $H_B$, 则复合系统的希尔伯特空间$H_{AB}$为张量积 $$ H_{AB}=H_A\otimes H_B $$ 设定子系统A、B的量子态分别为$|\alpha\rangle_A$, $|\beta\rangle_B$,假设符合系统的量子态$|\psi\rangle_{AB}$不能写为张量积$|\alpha\rangle_A\otimes|\beta\rangle_B$,则称这复合系统为子系统A、B的纠缠系统，两个子系统A、B相互纠缠。

经典关联

用密度算符描述的两量子复合系统若可描述为： $$ \rho_{AB} = \sum_{i,j}p_{ij}|i\rangle \langle j|^{A}\otimes |j\rangle \langle j| $$ 其中，$|i\rangle^A$是希尔伯特空间$H_A$上的正交态，$|j\rangle^B$是希尔伯特空间$H_B$上的正交态, 则可以说这两个量子之间具有经典关联

非经典关联

如果$|i\rangle^A$，$|j\rangle^B$不是$H_A$,$H_B$上的正交态，则$AB$是非经典关联.

以上三个定义可以说明，混合态可能具有一些与纠缠态不同的非经典相关，因为这种状态是可分的